Deducción Natural y Tablas semánticas

 1. Deducción Natural

El objetivo de la lógica en las Ciencias de la Computación es el desarrollo de lenguajes para modelar las situaciones que un profesional del área encuentra comúnmente, y razonar formalmente acerca de ellas. Razonar acerca de estas situaciones, significa construir argumentos acerca de ellas. Lo ideal es que esta construcción sea Argumentación formal, de manera que los argumentos sean válidos y puedan ser defendidos rigurosamente; o ejecutados por una máquina. Esto último, es de particular importancia desde la perspectiva de la Inteligencia Artificial. Consideren el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1. Si el autobús llega tarde y no hay taxis en la estación, llegaré tarde a clase. No llegué tarde a clase. El autobús llegó tarde. Por lo tanto, había taxis en la estación. De manera intuitiva, el argumento anterior es válido, ya que si consideramos el primer enunciado junto con el tercero, nos dicen que si no hay taxis llegaré tardea clase. El segundo enunciado nos dice que no llegué tarde, por lo que debe ser el caso que en la estación hubiese taxis. Una gran parte del contenido de este texto está relacionado con argumentos que tienen esta estructura: una secuencia de enunciados seguida de la expresión “por lo tanto” y un enunciado más. El argumento se dice válido, si el enunciado final Validez se sigue lógicamente de los enunciados previos al “por lo tanto”. Qué queremos decir por “se sigue de”, es el tema de este capítulo y el siguiente. Consideren otro ejemplo:

Ejemplo 3.2. Si está lloviendo y Ana no trae su sombrilla, se mojará. Ana no está mojada. Está lloviendo. Por lo tanto, Ana trae su sombrilla. Este argumento también es válido y, de hecho, tiene la misma estructura que el ejemplo anterior. Solo hemos remplazado algunos enunciados por otros:

De hecho, el argumento podría expresarse sin hablar específicamente de auto-buses, taxis, lluvia y sombrillas: Si p y no q entonces. Por lo tanto. Al desarrollar una lógica, no nos concierne que es lo que los enunciados realmente significan, sino su estructura lógica. Aunque claro, cuando aplicamos el razonamiento, Estructura como en los ejemplos anteriores, el significado será de gran interés.

       El calculo lógico que pretende capturar la forma en la que el ser humano realiza sus razonamientos no se consideran axiomas (hechos asumidos como verdaderos) se consideran dos reglas de inferencia para cada conectiva, una para introducirla y otra para eliminarla se construyen reglas derivadas a partir de las básicas una prueba mediante deducción natural establece una relación entre un conjunto de formulas (premisas) y una conclusión. La relación se alcanza haciendo uso de un conjunto de reglas que deducen una nueva relación a partir de otras el proceso de deducción se basa en la estructura sintáctica de las formulas.

Enunciados declarativos

Para poder argumentar de forma rigurosa, necesitamos desarrollar un lenguaje en el cual podamos expresar nuestros enunciados resaltando su estructura lógica. Comenzaremos por el lenguaje de la lógica proposicional. Este lenguaje está basado en proposiciones o enunciados declarativos que uno puede, en principio, argumentar Proposiciones que son verdaderos o falsos. Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones:

1. La suma de 2 y 3 es 5.

2. Mariano reaccionó violentamente ante las acusaciones.

3. Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos.

El enunciado (1) puede ser declarado como verdadero en el contexto de la aritmética y la representación arábica decimal para los números naturales.

El enunciado(2) es un poco más problemático. Para evaluar este enunciado necesitaríamos de un testigo de la reacción de Mariano y posiblemente conocer las acusaciones. En todo caso, si hubiésemos presenciado la escena descrita, podríamos asignar un valor de verdad al enunciado en cuestión.

El enunciado (3) se conoce como la Conjetura de Goldbach y es uno de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas. Aunque la conjetura no ha sido demostrada, evidentemente toda proposición para los números mayores que dos resulta falsa o verdadera. La cuestión aquí es que no solo desconocemos el valor de verdad del enunciado, sino que ignoramos si aún siendo verdad, ésta puede ser probada por medios finitos.

Los siguientes enunciados no son declarativos:• Pásame la sal.• ¿Qué pesa más un kilo de plomo o de algodón?• No uses el teléfono en clase.

Las tablas semánticas

Hemos visto que las deducciones pueden hacerse atendiendo a los problemas de derivación, realizándose esta última a través de la aplicación de las reglas básicas o derivadas. Pero también podemos utilizar otro criterio: el semántico, según el cual, y suponiendo que la deducción sea correcta, no podemos obtener una conclusión falsa de premisas verdaderas. La semántica atiende por una parte al hecho al que se refiere la proposición y, por otra parte, a su valor de verdad. El método de las tablas semánticas supone una búsqueda de contraejemplos que invaliden el argumento. Es una especie de reducción al absurdo, en la que se supone la verdad de la negación de la conclusión y, a partir de ella, se llega a una contradicción. Veámoslo.

Reglas semánticas

La búsqueda de contraejemplos que invaliden la argumentación se realiza a través de la aplicación de una serie de reglas que tienen bastante parecido con las reglas básicas del cálculo de juntares.

Estas reglas son las siguientes:

• Regla de negación: Doble negación (DN)Siempre que tengamos una doble negación podemos inferir la afirmación de dicho término:

• Reglas de la implicación: verdad de la implicación (VI):Siempre que se nos de una implicación podremos afirmar separadamente que su antecedente es falso o su consecuente es verdadero:

La barra vertical que separa a ¬A de B implica la existencia de una bifurcación en la derivación, puesto que pueden darse varias posibilidades de las cuales, al menos una, ha de ser verdadera.

• Falsedad de la implicación (FI): Una implicación es falsa cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso:

• Verdad de la conjunción (VD): Una conjunción es verdadera si todos sus términos son verdaderos:

• Falsedad de la conjunción (FC): Una conjunción es falsa si es falso alguno de sus términos:

• Reglas de la disyunción: Verdad de la disyunción (VD): Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de sus dos términos es verdadero:

• Falsedad de la disyunción: Una disyunción es falsa cuando todos sus términos son falsos: