El lenguaje de la lógica simbólica

 1. El lenguaje de la lógica

Lógica simbólica:

Una oración es una expresión gramaticalmente correcta que posee sentido completo. Las oraciones pueden ser de varios tipos: enunciativas, interrogativas, exclamativas, de posibilidad, etc. La lógica simbólica sólo se interesa de las oraciones que pueden ser verdaderas o falsas: y que denominamos como enunciados. Un enunciado es una expresión que tiene sentido completo y puede ser verdadero o falso, por ejemplo, “Hoy está soleado”. Un argumento o deducción es un razonamiento por el cual de un enunciado inicial (llamado premisa) se deduce un enunciado final (llamado conclusión). La forma de los argumentos es la estructura de éstos.

Desde el punto de vista lógico lo más importante es la forma o estructura de los argumentos (no sus contenidos).

2. Proposiciones atómicas y moleculares. Conectivos lógicas

Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. También podríamos decir que una proposición es una sentencia que expresa una propiedad para un individuo.Las proposiciones atómicas y moleculares son conceptos fundamentales en la lógica proposicional. Una **proposición atómica** es un enunciado simple que no puede dividirse en proposiciones más pequeñas y tiene un valor de verdad definido (verdadero o falso). Por ejemplo, "El cielo es azul" es una proposición atómica.

Por otro lado, una **proposición molecular** se forma al combinar dos o más proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos como la conjunción (y), la disyunción (o), la negación (no), el condicional (si... entonces) y el bicondicional (si y solo si). Por ejemplo, "El cielo es azul y el pasto es verde" es una proposición molecular que une dos proposiciones atómicas con el conectivo lógico "y".

Las proposiciones moleculares pueden ser más complejas y su valor de verdad depende de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que las componen y de la manera en que están conectadas por los operadores lógicos. Por ejemplo, la proposición molecular "Si el cielo es azul, entonces el pasto es verde" es verdadera si tanto "El cielo es azul" como "El pasto es verde" son verdaderas.

• Clasificación de Enunciados y de Proposiciones

Tanto los enunciados como las proposiciones se clasifican así: según la cantidad de conectores lógicos que la conforman y según su valor de verdad.

Los enunciados y las proposiciones se clasifican en simples o atómicas y compuestas o moleculares.

Enunciado y Proposición Simple o Atómica. Se denomina enunciado o proposición simple o atómica a aquel enunciado o proposición que no tiene conectores lógicos

(Enunciados y proposiciones simples).

Enunciado y Proposición Compuesta o Molecular.

Es un enunciado o proposición que está formada por dos o más enunciado o proposiciones simples; por consiguiente, están separadas por diferentes conectores lógicos

(Enunciados y proposiciones compuestos).

Los conectivos lógicos.

Enlazan dos o más proposiciones simples, dependiendo de cómo realizan esta vinculación pueden ser:

Conjunción: la letra “y”, en este caso para que la proposición compuesta sea verdad las dos proposiciones simples deben ser verdaderas.

Disyunción débil: la letra “o”, para que la proposición compuesta sea verdad una de las dos proposiciones será verdadera o las dos, la proposición compuesta sólo será falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas.

Disyunción fuerte: con la combinación “o…o…” como en la frase “o comes carne o comes pescado”; en este caso para que la proposición compuesta sea verdadera una de las dos simples que la componen debe ser verdadera y la otra falsa, si las dos fueran verdaderas o las dos falsas la proposición compuesta sería falsa.

Condicional por la expresión “sí … entonces …”: la primera proposición simple es el antecedente y el segundo consecuente. En este caso la proposición será verdadera salvo que la primera sea verdadera y la segunda falsa, en cuyo caso la compuesta será falsa.

Bicondicional por la expresión “sí y sólo sí”, como en la frase “el animal ladra sí y sólo sí es un perro”: en este caso la proposición compuesta es verdadera si las dos simples son, a la vez, verdaderas o las dos falsas, si una fuera verdadera y la otra falsa la compuesta sería falsa.

Negación: puede ser con la expresión “no” o “no es cierto que”, para que la compuesta sea verdadera al menos una de las dos que la componen ha de ser falsa.

3. Validez de argumentos formalizados: Lógica formal y verdad lógica.

La lógica formal: Ciencia abstracta que tiene por objeto el análisis formal de los argumentos, prescindiendo de su contenido. La verdad o falsedad se dice de los enunciados; por el contrario, la validez formal o corrección es un atributo de los argumentos o deducciones. Un argumento es válido (o correcto) cuando de las premisas se sigue necesariamente su conclusión. La lógica no decide acerca de la verdad de los enunciados, solo establece cuándo unas premisas, sean verdaderas o no, permiten extraer una conclusión. Si es así, el razonamiento será válido, correcto. Si no es así, el razonamiento será inválido, incorrecto.

Una forma de adquirir conocimiento es el razonamiento. Hay varios modos o formas de razonar o argumentar sobre una conclusión. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos; y forman el objetivo central de la lógica. En un sentido amplio, la misma hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto al estudio del razonamiento deductivo. Un tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. La lógica proposicional toma como unidades básicas a las proposiciones y tiene en cuenta cómo se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos válidos.

4. Tablas de Verdad.

Son el resultado de representar todas las posibilidades de asignar valores a las letras enunciativas y ver lo que ocurre en cada una de ellas. Sirven para saber si una fórmula es consecuencia lógica de otra. Para establecer el valor de verdad de una proposición, en primer lugar se traduce al lenguaje simbólico, a continuación se asigna el valor de verdad de la proposición simple, y finalmente operamos con los conectivos lógicos hasta hallar el valor de verdad de la proposición compuesta. Hemos de tener en cuenta que el número de combinaciones posibles siempre es 2n , en donde 2 el número de valores de verdad (verdadero y falso) y “n” es el número de letras enunciativas (p, q, r,… etc.).

En una proposición simple solo hay dos posibilidades, o es verdadera o es falsa. Pero, en una proposición compuesta, hay dos o más proposiciones simples. En este caso no hay sólo dos posibilidades: al haber dos proposiciones puede que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas, que una sea verdadera y la otra falsa o viceversa, por lo tanto habría cuatro posibilidades. Si la proposición compleja contiene tres proposiciones simples el número de posibilidades es aún mayor. Para calcular el número de posibilidades elevamos dos al número de proposiciones simples que participan que será el exponente. Así, si tenemos dos proposiciones será dos al cuadrado (4), si son tres será dos al cubo (8), si son cuatro dos a la cuarta (16) y así sucesivamente.

Una tabla de verdad corresponde a un arreglo rectangular conformado por una o más proposiciones y todas las posibles combinaciones de verdad que se pueden definir de la proposición dada. Esto es, un conjunto de combinaciones de valores de verdad correspondientes a una proposición. El resultado definitivo de una proposición compuesta corresponde al valor del conectivo lógico principal de la proposición y se obtiene a partir de los valores parciales de las proposiciones que la conforman. Se utilizan para comprobar la verdad o falsedad de las proposiciones. El cantidad de combinaciones de verdad de una proposición depende del número de proposiciones simples que la componen y se calcula mediante la expresión 2n con n=número de proposiciones simples. En efecto, si n es 1, se tienen dos posibles valores de verdad; si se tienen 2 proposiciones se producen 4 posibles valores de verdad; si se tienen 3 proposiciones, entonces serían 8 las posibles combinaciones de verdad si se tienen 4 proposiciones, entonces serían 16 las posibles combinaciones de verdad y así sucesivamente.

Dependiendo del resultado final según la combinación de estas proposiciones simples la tabla de verdad de la compleja puede ser de tres tipos:

Tautológica cuando cualquier combinación de verdadero o falso de sus componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es verdadera.

Contradictoria si cualquier combinación de verdadero o falso de los componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es falsa.

Contingente cuando existen distintas posibilidades de resultados según la combinación de verdadero y falso de los componentes.