Lógica de Primer orden. Cuantificadores

 1. Lógica de primer orden

El estudio de la lógica de proposiciones descubre dos cosas fundamentales: expresiones que se refieren a individuos y expresiones que se refieren a propiedades de individuos o relaciones entre ellos.nLos enunciados estudiados hasta los capítulos anteriores han sido singulares, es decir, sus atributos no van adscritos a algún individuo en particular o a determinada relación entre dos o más individuos. Sin embargo, muchas veces se requiere conocer cuántos individuos cumplen con cierta propiedad o entre cuántos individuos se da cierta relación. Para tal fin, se utilizan enunciados cuantificados o expresiones lógicas denominadas cuantificadores, los cuales se identifican como todos o algunos cumplen cierta propiedad. La lógica de cuantificadores también llamada “lógica de predicados” examina la parte interna del enunciado, sin alejarse de la lógica de proposiciones.

Los predicados se dividen en dos tipo: los predicados monódicos (adscriben la propiedad a un solo nombre) y los predicados poliádicos (adscriben la propiedad a dos o más nombres).

• Nombres y predicados

Un enunciado está formado por dos partes fundamentales: el nombre del individuo que simplemente se denomina “nombre” y la característica o relación del individuo que llama “predicado”. El nombre se denotará con las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, etc.) y el predicado por una letra mayúscula que abrevie toda la expresión que designa toda la propiedad o relación del nombre y se escribe delante del nombre. El texto del predicado se pone entre comillas y su enunciado se escribe con el verbo en infinitivo. Veamos el siguiente enunciado y determinemos las dos partes fundamentales del enunciado:

“Aristóteles es el fundador de la lógica”

El nombre es Aristóteles y lo denotaremos con la letra “a” y el predicado se abreviará con “F” y corresponderá a:F:”ser el fundador de la lógica” Por consiguiente el enunciado quedará abreviado como “Fa” y leerá “F de a” o “F se dice a”.

• Cuantificadores

Enunciado abierto:

Analicemos la expresión“x es el fundador de la lógica” Un enunciado como el anterior se determina como enunciado abierto. Evidentemente se puede notar que, “x” no es el nombre de un individuo en particular tal como lo es “a”; es decir, x no es una constante; x es una variable que puede ser sustituida por cualquier nombre de individuo (en este caso el nombre de una persona) formando así una proposición. La expresión no es una proposición; es un enunciado abierto, porque no se puede asegurar que es verdadero o falso. En efecto, veamos algunos casos: Si x toma el valor Luis XV, el enunciado quedaría: “Luis XV es el fundador de la lógica”, que es una proposición falsa. Si x es Pitágoras el enunciado quedaría: “Pitágoras es el fundador de la lógica”, qué es una proposición falsa. Si x es Aristóteles sería “Aristóteles es el fundador de la lógica” que es una proposición verdadera. Se puede observar que el enunciado algunas veces es falso y otras veces es verdadero. Luego, el enunciado se podría escribir “algún x es el fundador de la lógica” y se denominará “enunciado particular” Ahora, analicemos el enunciado x es idéntico a si mismo. Este enunciado es equivalente a “x es idéntico a x” Observe que cualquier nombre que sustituya a x forma una proposición verdadera, pues cualquier individuo es idéntico a si mismo. Por lo tanto, el enunciado se podría escribir “todo x es idéntico a si mismo” se llamará “enunciado universal”.

• Concepto de cuantificador

Los enunciados en los cuales se presentan expresiones tales como algunos (o existe o hay), todo (o siempre o cada) se denominan cuantificador existencial (o particular) y cuantificador universal (o referencial), respectivamente.

Ejemplo de enunciados cuantificados: Hay árboles, todos son árboles, algunos números, siempre son números, algunos árboles son maderables, todos los árboles son maderables, hay árboles maderables que tiene flores, los árboles maderables tienen flores.

• Tipos de cuantificadores y sus diferencias

 • Cuantificador existencial o particular.

Los enunciados que utilizan las palabras: algunos, hay o existen se denominan enunciados existenciales o particulares. Para transcribirlos se utiliza el denominado cuantificador existencial o particular y se simboliza con “3”.

Sea P el predicado y x el individuo indefinido que cumple el predicado

(x)(Px): existe un x tal que x cumple Po algún x cumple P o hay un x que x cumple P.

• Cuantificador universal o referencial

Los enunciados de la forma: para todo, siempre o cualquiera se denominan enunciados universales o referenciales. Para transcribirlos se utiliza el denominado cuantificador universal y se simboliza con A (Al revés).

Sea P el predicado y x el elemento indefinido que cumple el predicado.

• Diferencias entre los cuantificadores

Cuando se tiene un enunciado existencial se está afirmando que hay o existen individuos que cumplen la propiedad. Ejemplo, el enunciado “algunas hojas de árboles son de color rojo” se está afirmando que existen hojas de árbol que son de color rojo.Sin embargo, no sucede lo mismo cuando se tiene un enunciado universal no se está asegurando que existan individuos que cumplan la propiedad dada. Por ejemplo, “todas las hojas de árboles son de color rojo”. Este enunciado no está afirmando que existan árboles con hojas; simplemente se está afirmando que cualquiera que sea hoja de árbol deberá ser de color rojo.

A. Cuantificadores con predicado compuesto

Se llama enunciado compuesto a aquellos enunciados que tienen dos o más predicados.

Para usar correctamente el cuantificador tenga en cuenta lo siguiente:

 • Los enunciados particulares utilizan la conjunción como conectivo principal.

Los enunciados particulares se expresan enlazando los predicados con una conjunción, porque lo atribuido a un predicado también se le atribuye al otro..

 • Los universales utilizan el condicional como conectivo principal.

Los enunciados universales se expresan enlazando los predicados con un condicional, porque lo atribuido al primer predicado es condición suficiente de lo atribuido al segundo predicado.

Negación de cuantificadores

Para negar un enunciado cuantificado, basta con cambiar el cuantificador y negar la afirmación o predicado. En la negación del predicado deberá utilizar las leyes del álgebra proposicional.

Combinación de cuantificadores

Algunos enunciados cuantificados llevan combinación de cuantificadores que se diferencian por el orden en que se disponen, con el fin de conformar una expresión. Con el propósito de aclarar el significado mediante el simbolismo lógico de cada expresión, se recomienda poner paréntesis.

Propiedades de los Cuantificadores